instrukcaj3i4

instrukcaj3i4, UP zajęcia, modelowanie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Całkowanie numeryczneCałkowanie numeryczne ma zastosowanie do obliczania całek oznaczonych , dla których nie istnieje skończonewyrażenie przedstawiające całkę, albo gdzie nie jest znana właściwa funkcja , a dane występują tylko w postacitabelarycznej. Całkowanie numeryczne (inaczej kwadratura ) to różne metody znajdowania przybliżonego polapod wykresem funkcji f(x), pomiędzy dwoma wartościami xNajprostsza technika wykorzystuje metodę trapezów, jeżeli podzielimy pole pod krzywą na wystarczającą dużąilość części, to pole pod krzywą (przybliżona całka) jest dane równaniem:I�½fxdx�½Aiai�½1bnAiPrzybliżamy wybrany pasek do trapezu. Oczywiście imwięcej pasków użyjemy , tym dokładniejsze będzieprzybliżenie. Przyjmijmy, że mamy n-pasków , czyli n+1punktów danych. Powierzchnia jednego paska jestwyznaczona wzorem:Ai�½ xy1yi12Po porównaniu do obu stron równania widzimy, żeI�½lubxy12y22y32y4....2yi...2yn yn 12nx I y12y1 yn 12i �½2Wzór ten nosi nazwę reguły trapezów.Lepsze przybliżenie całki można uzyskać poprze wybranie dwóch sąsiednich pasków i połączenie 3 punktówkrzywej parabolą. W ten sposób powstaje równanie noszące nazwę Reguły jednej trzeciej Simpsona, służące doprzybliżania powierzchni pod krzywą. Ma ono postać:1n�½2Iyi4yi1yi23i�½1,3,5Reguła ta wymaga istnienia parzystej liczby pasków o stałej szerokościRezultatem aproksymacji krzywej poprzez wprowadzenie wykresu równania sześciennego przez 4 sąsiedniepunkty jest reguła trzech ósmych Simpsona obrazowana równaniem:3n�½3Iyi 3yi1 3yi 2yi 3 x8i�½1, 4,7Reguła ta nie wymaga parzystej liczby przedziałów . Jest to ważna zaleta, gdy mamy do dyspozycji danewyłącznie w postaci tabelarycznej.Dokładność: Jeżeli przedziaładobbędziemy dzielić na coraz większą liczbę pasków, dokładność powinna sięteoretycznie poprawiać. W praktyce jest inaczej. Gdy liczba pasków staje się bardzo duża, znaczenia nabieraskumulowany błąd zaokrągleń.1Reguła trapezówćw. 1 Stosując przybliżenie trapezowe obliczymy całkęxsinxdxi pokażemy, że przybliżenie daje wynik bliski dokładnej wartości wynoszącejπDo obliczenia wykorzystamy regule trapezów.Otwórz arkusz metoda trapezów i sformatuj go zgodnie ze wzorem:delta- formuła obliczająca wartośćΔx,którą wykorzystamy do znalezienia 11wartości x (10 przedziałów 11 wartości): dolna, dolna +Δx,dolna + 2Δx, , itp.dolna- dolna granica całkowaniagórna- górna granica całkowanian - liczba przedziałów całkowania( pasków)Komórkom z zakresuA3:B6przypisz odpowiednie nazwyWprowadź następujące formułyA9=dolnaA11=a9+deltaSkopiuj formułę w dół do wiersza a19 aby uzyskać 11 wartości xW Komórce b9 Wpisz formułę =a9*Sin(a9). Skopiuj ją do wiersza b19W komórce c9 umieść formułę =delta*(b9+b10)/2 do obliczania pola powierzchni pierwszego paska. Skopiujformułę w dół do komórki c18Wpisz następujące formułyc20=Suma(c9:c18) suma 10 pół trapezówc21=Pi()dokładna wartość całkic22=(c20-c21)/c21 błąd przybliżeniaTechniki Monte CarloCałkowanie numeryczne przy użyciu technik Monte CarloWyobraźmy sobie okrąg wpisany w kwadrat o boku długości l jednostek. Promień okręgu będzie wynosił l/2. Wrysunek okręgu rzucanych jest losowo N (gdzie N jest dużą liczbą) strzał i liczba © tych, które trafią w okrągjest sumowana. Jeśli rzuty były rzeczywiście losowe , wtedy zachodzi równanie:Liczba strzal w okreguPowierzchn ia okregu�½Calkowita liczba strzal Powierzchn ia kwadratulubCr2�½2�½N4lWidzimy, że można zatem znaleźć przybliżoną wartośćπ,robiąc proste doświadczenie z rzucaniem strzały.ćw.2 Zastosujemy tę metodę Monte Carlo- do znalezienia przybliżonej wartości całkiI�½x310 x25xdx10całkę te można policzyć analitycznie co umożliwi porównanie otrzymanych wyników.21) Utwórz tabelę widoczną w komórkach h1:i12 [arkusz Monte Carlo]W komórce i2 znajduje się formuła =-h2^3+10*h2^2 +5*h2. jest ona skopiowana w dół. Dla danych utwórzwykres punktowy.2) Niech krzywa mieści się w prostokącie 10 na 200 Użyjemy funkcji LOS() do wygenerowania dwóch wartościlosowych określających pozycje strzały. Funkcja zwraca wartości z zakresu od 0 do 1, więc do określeniawartości x użyjemy formuły =LOS()*10, a dla wartości y formuły = LOS()*2003) W komórce A3 wpiszmy =LOS()*10 a w komórce b3=LOS()*200. Skopiujmy te formuły – aż do wiersza1002.4) w komórcec3znajduje się formuła=Jeżeli b3>-a3^3 +10*a3^2+5*a3;0;1).Zwracaona 0, gdy strzała trafiponad krzywą i 1 w przeciwnym przypadku. Skopiujmy tę formuła do komórek c10025) W kolumnie f znajdują się następując formułyf2:=ile.liczb(a3:a1002)całkowita liczba rzuconych strzałf3:=Suma(C3:c1002)liczba strzał które trafiły w okrągf4:=2000*f3/f2powierzchnia pod krzywąf5:=-(1/4)*10^4+(10/3)*10^3+(5/2)*10^2wynik uzyskany analitycznief6:=(f4-f5)/f5błądProszę wielokrotnie naciskać [f9] , aby przeliczać arkusz. Za każdym razem generowany jest nowy zestawdanych. Błędy wahają się w granicach ±6% w stosunku do wartości analitycznej. Jeszcze lepszy wynik możnauzyskać zwiększając ilość liczb losowych.Zapisz arkusz3 [ Pobierz całość w formacie PDF ]