Ins1 Mech, Automatyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Teoria sterowania
Temat ćwiczenia nr 1:
Badanie zapasu stabilności w układach regulacji.
Cel ćwiczenia:
Wyznaczenie zapasu wzmocnienia i fazy za pomocą charakterystyk
częstotliwościowych w układzie otwartym:
-logarytmicznej amplitudowej i fazowej (wykresy Bodego)
- amplitidowo-fazowej
Do wykonania ćwiczenia wykorzystuje się pakiet Matlab.
1.
Zapas wzmocnienia i fazy
Zapas wzmocnienia i zapas fazy są to parametry, które pozwalają określić, „jak daleko” układ regulacji
(zamknięty) znajduje się od granicy stabilności. Parametry te są dokładnie określone tylko wtedy, gdy
układ otwarty jest stabilny.
1.1.
Wyznaczenie zapasu wzmocnienia i fazy za pomocą charakterystyk logarytmicznej
amplitudowej i fazowej.
Zapas wzmocnienia K
d
(ang. gain margin) – określany jest w punkcie dla częstotliwości ω
Π
(częstotliwość odcięcia fazy), w którym faza osiąga wartość -180
o
. Jego wartość określa
ile razy
można zwiększyć wzmocnienie zanim układ straci stabilność.
Zapas fazy
γ (ang. phase margin) – jest to wartość fazy dla częstotliwości ω
γ
(częstotliwość odcięcia
modułu), przy której wzmocnienie wynosi 1 (0 dB). Bada się wówczas
o ile
zwiększy się przesunięcie
fazowe, zanim osiągnie wartość -180
o
.
Interpretacja zapasu wzmocnienia i fazy jest szczególnie wyraźna na wykresach logarytmicznych
modułu i fazy (Bodego), gdzie obydwa zapasy są określane wprost przez rzędne wykresów
charakterystyk modułu i fazy w punktach ω
Π
i ω
γ
.
K
Dana jest f-cja przejścia układu otwartego:
()
( )
(
G
s
=
1
2
s
+
1
s
+
s
+
Dla każdego ze wzmocnień K= 1,5; 2; 3; 4 należy:
- wprowadzić licznik i mianownik f-cji przejścia do Matlab’a (do mnożenia czynników w mianowniku
można wykorzystać funkcję
conv
);
- wyznaczyć charakterystyki modułu i fazy (funkcja
bode
);
- odczytać z wykreślonych przebiegów zapas wzmocnienia i fazy (wykorzystać funkcję
ginput
, ew.
zoom)
;
- odczytane wartości wpisać do tabeli 1;
- wyznaczyć zapas wzmocnienia i fazy wykorzystując funkcję
margin
(wyniki wpisać
1.2.
Wyznaczenie zapasu wzmocnienia i fazy za pomocą charakterystyk amplitudowo-fazowych
(Nyquista)
Zapas wzmocnienia K
d
– odwrotność długości odcinka wyznaczonego przez początek układu
współrzędnych oraz punkt przecięcia charakterystyki amplitudowo-fazowej z ujemną półosią Re(G(jω)).
Zapas fazy
γ - kąt między półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez
punkt przecięcia charakterystyki amplitudowo-fazowej z kołem jednostkowym i ujemną półosią
Re(G(jω)).
Dla układów z punktu 1.1 :
- wykreślić charakterystyki amplitudowo-fazowe (funkcja
nyquist
);
- wyznaczyć dla każdego przypadku (na podstawie wykreślonych przebiegów) zapas wzmocnienia i
fazy;
- wyniki zapisać w tabeli 1.
1.3.
Obliczanie wzmocnienia układu dla zadanego zapasu wzmocnienia i fazy
K
Dla układów z punktu 1.1, opisanych f-cją przejścia:
()
( )
(
G
s
=
wyznacz wzmocnienie K
1
2
s
+
1
s
+
s
+
dla którego:
- zapas fazy wynosi 30
o
;
- zapas fazy wynosi 60
o
;
- zapas wzmocnienia wynosi (∆
L
m
) 6dB;
- zapas wzmocnienia wynosi (∆
L
m
) 12dB;
W tym celu można wykorzystać funkcję
fminsearch
i napisać następujący skrypt o nazwie
dana_faza.m
:
function
k=dana_faza(K)
faza=30;
l=K;
m=conv([1 1],[1 1 1]);
[wz,f]=margin(l,m);
k=abs(f-faza);
Następnie należy w Matlabie wywołać funkcję
fminsearch
:
[wynik,blad]=fminsearch(‘dana_faza’,1)
Wyznaczone wzmocnienie wstawić do tabeli 2.
Zmodyfikować utworzony skrypt w ten sposób, aby :
- wyznaczyć wzmocnienie układu K dla zapasu fazy 60
o
;
- wyznaczyć wzmocnienie układu K dla zapasu wzmocnienia (∆
L
m
)
6dB i 12dB.
Wyniki wpisać do tabeli 2.
Tabela 1
Ch-tyki logarytmiczne
Ch-tyka ampl.-fazowa
F-cja
margin
K
∆
L
m
K
d
γ
K
d
γ
K
d
γ
1,5
2
3
4
Tabela 2
γ
K
∆
L
m
30
o
-
60
o
-
-
6 dB
-
12 dB
K
– wzmocnienie układu regulacji; ∆
L
m
=20logK
d
;
K
d
– zapas wzmocnienia; γ - zapas fazy
[ Pobierz całość w formacie PDF ]